3.1 Versuchsaufbau 3.2 Versuchsdurchführung 3.3 Theoretische grundlagen der Simulation 3.4 Optimierung der Formeln 3.5 Weitere Beobachtungen 3.6 Anleitung zu den Simulationsprogrammen



3. Das Drehpendel

Abb 3.1.1: Schematischer Aufbau des Drehpendels

3.1 Versuchsaufbau

Ein Rad ist mit seinem Mittelpunkt an einer Stange befestigt, die frei drehbar gelagert ist. An der Stange ist außerdem eine Spiralfeder angebracht, die das Rad im unangeregten Zustand in eine Ruheposition bringt. Nun wird die Feder durch einen Oszillator angeregt, was mit der Anregung des Rades durch den Oszillator gleichzusetzen ist. Die Drehung wird durch einen Wirbelstromkreis, dessen Stärke frei einstellbar ist, gedämpft. Dies soll u.a. eine sogenannte Resonanzkatastrophe vermeiden, die durch die ständige Energiezufuhr durch den Oszillator entstehen könnte.

Nach einiger Zeit stellt sich die Drehfrequenz des Rades auf die Oszillatorfrequenz ein. In dieser Form dreht sich das Rad in einer vollkommen linearen Weise - wie ein Pendel, das keiner äußeren Einwirkung unterliegt.

Bringt man nun eine kleine Unwucht so am Rad an, daß sie bei einer Auslenkung der Feder um 0░ nach oben zeigt, so ändert sich das Verhalten des Pendels: es wird chaotisch.

3.2 Versuchsdurchführung

Der oben beschriebene Versuch wurde an einem Drehpendel der Ludwig-Maximilians- Universität durchgeführt. Dabei wurde deutlich, daß die Anregungsfrequenz in der Nähe bzw. etwas unter der Eigenschwingfrequenz des Pendels liegen muß, damit es zu einer Resonanz und damit zu einem chaotischen Verhalten des Pendels kommt.

Die aktuelle Auslenkung und die Geschwindigkeit des Pendels wurden während des Versuchs gemessen und zur Auswertung an einen Computer weitergeleitet, der u.a. ein Auslenkungs/Zeit (j/t) - und ein Winkelgeschwindigkeit/Auslenkungs (w/j) - Diagramm ausdrucken konnte (siehe Abbildung 3.2.1, die direkt aus dem Drehpendelversuch stammt. Die Masse der Unwucht betrug dabei 100g). [Tut mir leid wegen der komischen Buchstaben; das j sollte eigentlich ein phi sein und das w ein omega].

Abb 3.2.1

Vergleicht man diese Abbildung mit denen aus der Simulation (vgl. 4.1), so kann man eine Ähnlichkeit feststellen. In 4.1 wird auch die Bifurkation (Aufspaltung einer Schwingung) näher erklärt.

3.3 Theoretische Grundlagen der Simulation

[Dieser Punkt wurde hier weggelassen, weil er voll mit Formeln ist, die HTML nicht darstellen kann. Wer sich dennoch dafür interessiert, der kann mir gerne eine e-mail schicken.]

3.4 Optimierung der Formeln für die Simulation

[Dieser Punkt wurde hier weggelassen, weil er voll mit Formeln ist, die HTML nicht darstellen kann. Wer sich dennoch dafür interessiert, der kann mir gerne eine
e-mail schicken.]

3.5 Weitere Beobachtungen

Schaltet man den Oszillator und die Wirbelstrombremse aus (jMax Oszi = I = 0), so ergibt sich für das neue Drehmoment M: M = -DĚj + mgrĚsin(j). Dadurch läßt sich das Potential U des Pendels im Winkel j berechnen:
(3.5.1) (Formel)

Wird das Pendel nicht angeregt (jMax Oszi = 0), verliert es zunehmend an Energie und pendelt sich schließlich in der Ruhelage jRuhe ein. In der Ruhelage ist das Drehmoment M = 0, d.h. das Rückstellungsmoment der Feder ist gleich dem Drehmoment der Masse:
(3.5.2) (Formel)
Bei gegebenem jRuhe läßt sich somit die Federkonstante berechnen (sofern m, g, und r ebenfalls gegeben)

Wird die Unwucht weggelassen (m = 0), so ergibt sich folgendes Drehmoment:
(3.5.3) (Formel)
In diesem Fall pendelt das Pendel so lange, bis die zugeführte Energie (durch den Oszillator) gleich der abgegebenen Energie (durch die Reibung) ist. Es stellt sich eine harmonische Schwingung ein, die die folgende Differentialgleichung hat:
(3.5.4) (Formel)

Verstärkt man die Wirbelstrombremse (durch einen relativ großen Dämpfungstrom), so stellt sich eine periodische Schwingung um die Ruhelage jRuhe ein. Das Pendel ist dort in Resonanz.

3.6 Anleitung zu den Simulationsprogrammen für das Drehpendel

[Auch diesen Abschnitt habe ich weggelassen. Wer sich dennoch dafür interessier (Programm oder Beschreibung), kann mir ja mal eine e-mail schreiben...]

Zurück zum letzten Kapitel ("Das Magnetpendel")
Weiter mit dem nächsten Kapitel ("Chaotische Phänomene am Beispiel des Drehpendels")



(C) Copyright 1997 by Johannes Schmid
letzte Änderung: 05. Januar 1997