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 2.1 Versuchsaufbau 2.2 Versuchsdurchführung 2.3 Theoretische grundlagen der Simulation 2.4 Optimierung der Formeln 2.5 Veränderung der Ausgangsbedingungen 2.6 Grenzverlauf der Attraktionsgebiete 2.7 Verletzung der starken Kausalität 2.8 Anleitung zu den Simulationsprogrammen



2. Das Magnetpendel

Abb. 2.1.1: Schematischer Aufbau des Pendels und Positionen der Magneten im Koordinatensystem

2.1 Versuchsaufbau

Drei mit verschiedenen Farben (rot, gelb und blau) gekennzeichnete, gleich große und gleich starke Magneten werden so auf eine Ebene gestellt, daß sie die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 20 cm bilden. Über den Schwerpunkt dieses Dreiecks wird ein Pendel (ein Faden von etwa 1,5 m Länge, an dem eine mit Graphit bedampfte Styroporkugel mit einem Durchmesser von etwa 3 cm befestigt ist) gehängt, so daß es die Magneten knapp nicht mehr berührt. Die Kugel pendelt unter dem Einfluß der Anziehungskraft der drei Magneten. (Abb. 2.1.1)

Die oben gegebenen Maße sind nur Beispiele und lassen sich beliebig ändern. Die Magneten sollten jedoch immer stärker als die Schwerkraft sein, um das Pendel aus dem Schwerpunkt des Dreiecks, dem natürlichen Ruhepunkt des Pendels, herauszuziehen.

2.2 Versuchsdurchführung

Abb 2.2.1: Möglicher Lauf des Pendels Bewegt man das Pendel zu einem beliebigen Anfangspunkt und läßt ihm dann freien Lauf, so bewegt es sich in chaotischen Schleifen und kommt schließlich (wegen der Luftreibung) über einem der drei Magneten zum Stillstand. (Abb. 2.2.1)

Aber über welchem? Neben den durch die Anordnung bestimmten Konstanten ist die Startposition die einzige Größe, die auf das Ergebnis Einfluß nimmt. Ein Magnet zieht das Pendel dann an sich, wenn es in seiner unmittelbaren Umgebung gestartet wird. Andernfalls kann das Pendel jedoch auch über einem Magneten stehenbleiben, der von der Startposition weit entfernt ist. Ist letzteres der Fall, ist also nur eine Anfangsposition gegeben, die nicht im direkten Einflußgebiet des Magneten liegt, so lassen sich über die Bahn, die das Pendel beschreibt -und damit auch über dessen Endposition- keine Vorhersagen treffen.

Um dieses Phänomen näher zu untersuchen, wird der Startpunkt (also die Position des Pendels beim Loslassen) dem Endpunkt (der Magnet, an dem das Pendel am Schluß "hängenbleibt") gegenübergestellt. Dies geschieht in Form einer Karte, auf der der Startpunkt mit der Farbe des Magneten gefärbt wird, über dem das Pendel letztendlich stehen bleibt. Ein Pendel, das über einem roten Gebiet der Karte, dem Attraktionsgebiet des roten Magneten, gestartet wird, bleibt demnach schließlich über dem roten Magneten stehen.

Zeichnet man mehrere Karten (mit den gleichen Magneten und Naturkonstanten), so wird man feststellen, daß sie sich voneinander unterscheiden, obwohl der durchgeführte Versuch jedesmal der gleiche ist. Eindeutige Gebiete wie die um die Magneten selbst werden sich nicht ändern, da in diesem Fall das Pendel sofort am Magnet hängenbleibt, aber der "Rest" wird sich voneinander unterscheiden. Dies liegt daran, daß man nie zweimal genau denselben Startpunkt treffen kann. Auch wenn der Unterschied zwischen den Anfangspunkten noch so gering ist, so vergrößert sich die Differenz zwischen den Pendelbahnen im Verlauf des Experiments so stark, daß sie nachher so groß ist wie die Meßwerte selbst.

Die Auswertung ist jedoch mit den Mitteln des Experiments nur äußerst mühsam zu erfassen. Hier hilft die Computersimulation.

2.3 Theoretische Grundlagen der Simulation

[Dieser Punkt wurde hier weggelassen, weil er voll mit Formeln ist, die HTML nicht darstellen kann. Wer sich dennoch dafür interessiert, der kann mir gerne eine e-mail schicken.]

2.4 Optimierung der Formeln für die Simulation

[Dieser Punkt wurde hier weggelassen, weil er voll mit Formeln ist, die HTML nicht darstellen kann. Wer sich dennoch dafür interessiert, der kann mir gerne eine e-mail schicken.]

2.5 Veränderung der Ausgangsbedingungen

[Kleiner Ausschnitt gekürzt, ebenfalls wegen Formeln]

Dieser Abschnitt beschäftigt sich deshalb mit den Auswirkungen der Veränderung der Reibung. Verkleinert man beispielsweise die Reibungskonstante µ, so verliert das Pendel erst später seine Energie; es pendelt also länger. Dadurch wird der Unterschied der Bahnen von zwei benachbarten Anfangspunkten immer größer. Dies wirkt sich besonders an den Grenzen der Attraktionsgebiete(1) aus: sie verzahnen sich stärker, und die Unvorhersagbarkeit nimmt zu.

Die Abbildungen 2.5.1 und 2.5.2 verdeutlichen dies. Während bei einem Wert von µ = 0,065 -außerhalb der eindeutigen Bereiche um die drei Magneten- die Grenzen zwischen den Attraktionsgebieten noch relativ klar sind, herrscht bereits bei einem Wert von µ = 0,028 ein chaotisches Punktewirrwarr, bei dem kaum mehr von "Grenzen" im eigentlichen Sinn des Wortes gesprochen werden kann. Auf den zweiten Blick lassen sich jedoch Strukturen erkennen.

Abb. 2.5.1 und Abb. 2.5.2
Abb 2.6.1: Zwei Magneten haben sich gegenseitig auf. (Hier speziell der rote und der gelbe Magnet)

2.6 Grenzverlauf der Attraktionsgebiete

Vergrößert man immer wieder Ausschnitte von Grenzverläufen, so wird man feststellen, daß zwischen den Attraktionsgebieten zweier Magneten immer das Attraktionsgebiet des dritten Magneten liegt. Wie kann das sein?

Befindet sich das Pendel in der Nähe der Grenze zweier Attraktionsgebiete, ist die Anziehungskraft von dem näheren der konkurrierenden Magneten größer. Der stärkere Magnet "gewinnt" und kann das Pendel an sich reißen. Was passiert aber unmittelbar an der Grenze? Hier heben sich die Kräfte der beiden Magneten nahezu auf, so daß die resultierende Kraft nicht mehr zu einem der beiden Magneten zeigt, sondern senkrecht auf der Geraden durch die beiden Magneten steht. Hier "freut" sich der dritte Magnet, nutzt seine Chance und zieht das Pendel an sich. Jetzt gibt es aber wieder zwei Gebiete verschiedener Magneten, die aneinanderstoßen. Das ganze Spiel wiederholt sich; zwar nicht an der selben Stelle der Pendellaufbahn, sondern am nächsten "Entscheidungspunkt".

Abb 2.6.2 bis Abb 2.6.4

2.7 Verletzung der starken Kausalität

Versucht man, das Pendel mehrmals am gleichen Anfangspunkt zu starten, so könnte vermutet werden, daß das Pendel immer eine ähnliche Bahn beschreiben und schließlich beim selben Magneten hängenbleiben wird. Diese Vermutung beruht auf dem Axiom der starken Kausalität, das James C. Maxwell 1879 folgendermaßen beschrieb: "Es ist eine metaphysische Doktrin, daß gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht. Das daran anlehnende physikalische Axiom [der starken Kausalität] lautet: Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen. Dabei sind wir von der Gleichheit übergegangen zu Ähnlichkeit, von absoluter Genauigkeit zu mehr oder weniger grober Annäherung" (2)

Bei chaotischen Systemen sieht die Wirklichkeit anders aus: Ähnliche Anfangspunkte in einem "strittigen" Gebiet (also in einem Gebiet, in dem die Grenzen der Attraktionsgebiete der einzelnen Magneten stark verzahnt und flächenmäßig recht klein sind) führen zu vollkommen verschiedenen Laufbahnen des Pendels. Die anfangs zwar annähernd gleichen Anfangspunkte entfernen sich exponentiell voneinander und enden meist bei verschiedenen Magneten. Dies ist der sogenannte "Schmetterlingseffekt" oder, anders gesagt, die Verletzung der starken Kausalität: In chaotischen Systemen können ähnliche Ursachen völlig verschiedene Wirkungen haben; kleine (auf den ersten Blick unbedeutende) Veränderungen können sich mit der Zeit derart verstärken, daß sie nachher so groß wie die Meßwerte selbst sind. Das Programm "MAUSPEND" demonstriert dieses Verhalten.

2.8 Anleitung zu den Simulationsprogrammen für das Magnetpendel

[Auch diesen Abschnitt habe ich weggelassen. Wer sich dennoch dafür interessier (Programm oder Beschreibung), kann mir ja mal eine e-mail schreiben...]

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1 Das Attraktionsgebiet eines Magneten i ist (in diesem Fall) die Menge aller Anfangspunkte, deren (durch die Pendellaufbahn zugeordnete) Endpunkte über dem Magneten i liegen.
2 Worg [1], Seite 32


(C) Copyright 1997 by Johannes Schmid
letzte Änderung: 05. Januar 1997